Algebra [Lecture notes] by Eva Zerz

By Eva Zerz

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1 2 3 5 4 Da f irreduzibel ist, operiert die Gruppe S5 transitiv auf den Nullstellen von f . Da Bahnl¨angen stets Teiler der Gruppenordnung sind (Bahnformel), folgt 5 | |G|. 6) folgt, dass G ein Element der Ordnung 5 enth¨alt. Es folgt, dass G eine zyklische Vertauschung enth¨alt, etwa c= 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 ∈ G. Zusammen mit der Transposition τ , die von der komplexen Konjugation herr¨ uhrt, erzeugt c bereits die gesamte symmetrische Gruppe S5 . Also ist Gal(f |Q) = S5 und daher ist f nicht durch Radikale aufl¨osbar.

11). Beweis: Sei U = {e} eine Untergruppe von G. Wenn U ⊆ N gilt, dann folgt aus der Annahme sofort U = U . Sei also U ⊆ N . Es ist U N eine Untergruppe von G, und N ein Normalteiler von U N , also ist U N/N eine Untergruppe von G/N . Wegen U ⊆ N gilt N U N und somit ist U N/N nicht die triviale Untergruppe von G/N . Per Annahme folgt U N/N = (U N/N ) . Betrachte den Epimorphismus φ : U → U N/N von oben. 1). Also haben wir U N/N = U N/N , was U = U impliziert. 3. 8 Seien G = G0 . . Gl = {e} und G = H0 .

Ahnlich zum quadratischen Fall – eine Formel f¨ Nehmen wir an, dass f irreduzibel ist. Wegen char(K) = 3 ist f = 0, also f separabel. Sei L der Zerf¨allungsk¨orper von f , dann ist L|K Galois’sch. Sei δ = (α1 − α2 )(α1 − α3 )(α2 − α3 ), wobei αi ∈ L die Nullstellen von f seien, und d = δ 2 ∈ K. Dann haben wir die KE K ⊆ K(δ) ⊆ L. Es ist L|K(δ) Galois’sch und hat Grad 3 (denn f¨ ur δ ∈ K ist K = K(δ) und dimK (L) = 3, und f¨ ur δ ∈ / K ist dimK (K(δ)) = 2 und dimK (L) = 6). Also hat H = Aut(L|K(δ)) die Ordnung 3 und ist insbesondere zyklisch.

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