Algebren by Prof. Dr. Max Deuring (auth.)

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Insbesondere Satz 4. 1st P das Zentrum von A, 1tnd ist m eine einfache Algebra fiber p, so ist mA ein einfacher Ring, dessen Zentrum gleich dem Zentrum von mist. Wenn also A und B zwei Divisionsalgebren uber P sind, von denen die eine, etwa B, P als Zentrum hat, so ist ihr direktes Produkt A X B uber Peine einfache Algebra A X B = X Pt mit dem gleichen Zentrum wie A. Fur das direkte Produkt von zwei einfachen Algebren m = A X Pr , )S = B X Ps erhalten wir m X )S = r X (P r X Ps X Pt ). Nun kann leicht ausgerechnet werden, daB das direkte Produkt von zwei Matrizes- m m r 37 § 3.

Be wei s. im = A Xl A X, sei ein reziproker Darstellungsmodul von ~ in A. Wir zeigen, daB im zu einem ~KModul gemacht werden kann. Da ~ eine Eins hat, ist A Teilbereich von ~A' Urn im zu einem ~A-Linksmodul zu machen, muB das Produkt c . m eines ~A-Ele­ mentes c mit einem im-Element m definiert werden. (u1 , . . , un) = U sei eine Basis der Algebra ~. U ist auch eine A-Basis von ~A' chat also eine Darstellung + ... + c = }; fJiUi> fJi aus A. § 4. Einfache Algebren. 41 Wir setzen (1 ) Fiir die Elemente c von 58 ist das in Einldang mit der von vornherein gegebenen Produktbildung von 58 mit m.

Beweis. Ein endlicher Schiefkorper A ist eine normale Divisionsalgebra uber einem Galoisfeld P. Aile maximalen Teilkorper von A sind isomorph (weil es nur einen Typ von Galoisfeldern gegebener Elementezahl gibt). Nach § 4, Satz 3, gehen sie aile aus einem durch Transformation hervor. Die Gruppe @ der von Null verschiedenen Elemente von A ist also die Vereinigungsmenge der Konjugierten einer ABELschen Untergruppe (der multiplikativen Gruppe eines maximalen Teilkorpers). Ware A nicht kommutativ, so ware @ die Vereinigung der Konjugierten einer echten Untergruppe SJ.

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